الاستنتاج الرياضي



مبدأ الاستنتاج الرياضي



يستخدم الإستقراء الرياضي ( مبدأ الاستنتاج الرياضي ) لبرهان الكثير من العبارات المتعلقة بمجموعة الأعداد الطبيعية ، وتعتمد هذه الطريقة في البرهان على الخاصية التالية :
إذا كان س ط وتحقق الشرطين :
(1) 1 ∈ س (2) م ∈ س م+ ∈ س
فإن س = ط
مبدأ الإستقراء الرياضي :
لتكن ق(ن) جملة رياضية ، وكان (1) ق(1) صائبة ، (2) ق(م) صائبة ق(م+) صائبة . فإن ق(ن) صائبة لكل الأعداد الطبعية .
لكي نثبت أن ق(ن) صائبة لكل الأعداد الطبيعية نتبع الخطوات التالية :
(1) نتحقق أن العبارة صحيحة عند ن = 1
(2) نفرض أن العبارة صحيحة عند ن = م ( أو أي رمز آخر )
(3) نثبت أن العبارة صحيحة عند ن = م + 1
( ذلك باضافة الحد الذي ترتيبه (م+1) أي بوضع (م+1) بدلاً من ن في الحد الأخير وإضافة الناتج للطرفين ونكمل الاثبات )
مثـال (1) :ـ
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت أن : ـ
4 + 9 + 14 + ....................... + ( 5ن – 1 ) = ∀ ن ∈ ط
الحل :ـ
أولاً : نتحقق أن العبارة صحيحة عند ن = 1
الطرف الأيمن = 4 ( قيمة الحد الأول ) ، الطرف الأيسر = = 4
العلاقة صحيحة عند ن = 1
ثانياً : نفرض صحة القضية عند ن = م ، أي نفرض صحة :
4+ 9 + 14 + ....................... + ( 5م – 1 ) =
ثالثاً : نثبت صحة العبارة عند ن = م + 1 ، أي نفرض صحة
4+ 9 + 14 + ....................... + ( 5م – 1 ) +( 5م + 4 ) = + ( 5م + 4 )
الطرف الأيسر = =
= =
تذكره
** نعلم مما سبق دراستة أن مجموعة الأعداد الطبيعية مغلقة تحت عملية الجمع والضرب والقوى الطبيعية ، أي أنه إذا كان :
ل ∈ ط ، ن ∈ ط فإن :
ل + ن ∈ ط ، ل × ن ∈ ط ، ل ن ∈ ط
*** إذا كان المقدار ق(ن) يقبل القسمة على العدد 4 فإن ∈ ط
اي أن : ق(ن) = 4ك حيث : ك ∈ ط .


مما تقدم نستطيع إثبات قابلية القسمة باستخدام الإستقراء الرياضي :
أثبت أن : ∈ ط لجميع ن ∈ ط
( أي أن المقدار 9 ن – 5 ن يقبل القسمة على 4 )
أولاً نثبت صحة القضية عند ن = 1
المقدار = ( 9 – 5 ) ÷ 4 = 1 ∈ ط ، ق(1) صائبة
ثانياً : نفرض صحة القضية عند ن = م
∈ ط لجميع م ∈ ط ، أي أن :

= ك ، حيث ك ∈ ط 9 م – 5 م = 4ك
أي أن : 9 م = 5 م + 4ك
ثالثاً : نثبت صحة القضية عند ن = م + 1 ، أي نثبت أن :
= =

= =
= 9ك + 5 م ∈ ط
لأن ط مغلقة تحت عملية الجمع والضرب واالقوى الطبيعية
اكمل :
(أ‌) يستخدم الاستنتاج الرياضي لبرهان الكثير من العبارات والقواعد الرياضية المتعلقة بـ
......................... ط
(ب‌) أكتب نص مبدأ الاستنتاج الرياضي ؟
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(ج) إذا افترضنا أن س ط تحقق الخاصيتين .
(i) ........................................................................................................................................
(ii) ........................................................................................................................................
فإن س = ط
(د) لكي نثبت ان القضية المفتوحة ق(ن) صحيحة لأي عدد طبيعي ن باستخدام الاستنتاج الرياضي نقوم بما يلي :
(i) نتحقق أن .................................................................................................................
(ii)نثبت صحة الإقتضاء .................................................................................................
(هـ) مبدأ الاستنتاج الرياضي ينص على الآتي :
إذا كان ق(ن) جملة رياضية تعتمد على (ن) في صحتها وخطئها حيث ن ∈ ط وكان :
(i) ..................................................................................................................................
(ii) ..................................................................................................................................
فإن ق(ن) صحيحة ∀ ن ∈ ط
مسائل : ـ
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت كل من الآتي حيث ن ∈ ط .
(1) 1 + 2+ 3+ ....................... + ن =
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت أن مجموع الأعداد الطبيعية الأولى حتى ن يساوي
( نفس المسألة السابقة بشكل مختلف "لفظي" )




( 2) 2 + 4 + 6 + ............................. + 2ن = ن( ن + 1 )
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت أن مجموع الأعداد الزوجية الأولى والتي عددها ن يساوي
ن ( ن + 1 ) حيث ن ∈ ط
( نفس المسألة السابقة بشكل مختلف )
4 + 8 + 12 + .................... + 4ن = 2ن( ن + 1 )
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

3 + 6 + 9 + ...................... + 3ن =
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

0 + 1 + 2 + 3 + ........................ + ( ن – 1 ) =
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
3 + 5 + 7 + ........................... +(2ن+1) = ن2 + 2ن
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
2 + 6 + 10 + ........................... + ( 4ن -2) = 2ن2
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
5 + 25 + 125 + .................... + 5 ن =
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
2 ر – 1 = 1 + 2+ 4+ .............. + 2 ن – 1 = 2 ن – 1
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
( 2ر+3) = ن(ن + 4)
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

باستخدام مبدأ الاستنتاج الرياضي برهن أن :
∈ ط . ∀ ن ∈ ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
باستخدام مبدأ الاستنتاج الرياضي برهن أن :
9ن – 2 ن يقبل القسمة على 7 . ∀ ن ∈ ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
باستخدام مبدأ الاستنتاج الرياضي برهن أن :
9ن – 1 يقبل القسمة ÷ 8 ∀ ن ∈ ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
مستخدماً مبدأ الاستنتاج الرياضي اثبت أن :
5ن – 1 عدد زوجي . ∀ ن ∈ ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
باستخدام مبدأ الاستنتاج الرياضي أثبت أن :
3 2ن + 7 مضاعف للعدد 8 حيث ن ∈ ط
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................